Dada la función:
$y=f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$
Calcular: $y'$, $y''$
Solución
| Se tiene que: | ||
| $y=f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ | ||
| Primera derivada (Derivada de una división) | ||
| $y'=\dfrac{(2x-1)'(x+1)-(2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2}$ | ||
| $y'=\dfrac{(2)(x+1)-(2x-1)(1)}{(x+1)^2}$ | ||
| $y'=\dfrac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2}$ | ||
| $y'=\dfrac{3}{(x+1)^2}$ | ||
| $y'=3\cdot (x+1)^{-2}$ | ||
| Segunda derivada (Derivada de una función compuesta) | ||
| Tomamos: $u=x+1$ | ||
| Derivando: $\dfrac{du}{dx}=1$ | ||
| $m=3 \cdot u^{-2}$ | ||
| Derivando $m$ con respecto a $u$ | ||
| $\dfrac{dm}{du}=3(-2)u^{-2-1}$ | ||
| $\dfrac{dm}{du}=-6u^{-3}$ | ||
| Reemplazando en la regla de cadena | ||
| $\dfrac{dm}{dx}=\dfrac{dm}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ | ||
| $\dfrac{dm}{dx}=-6u^{-3} \cdot 1$ | ||
| $\dfrac{dm}{dx}=-6(x+1)^{-3}$ | ||
| $\dfrac{dm}{dx}=-\dfrac{6}{(x+1)^3}$ | ||
| Entonces Segunda derivada | ||
| $y''=-\dfrac{6}{(x+1)^3}$ | ||