Calcular:
$\lim \limits_{x \to 2}{\dfrac{x^4-16}{x^3-8}}$
Solución
| Reemplazando el valor de $x=2$ en la función: | ||
| $f(x)=\dfrac{x^4-16}{x^3-8}$ | ||
| $f(2)=\dfrac{2^4-16}{2^3-8}$ | ||
| $f(2)=\dfrac{16-16}{8-8}$ | ||
| $f(2)=\dfrac{0}{0}$ | ||
| Cuando el límite de una función da como resultado la indeterminación $0/0$ se debe factorizar los polinomios del numerador y denominador y luego simplificar el factor común, pero también se puede aplicar la Regla de Hôpital. | ||
| Regla de Hôpital | ||
| $\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}$ | ||
| Aplicando derivadas: | ||
| $\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{x^4-16}{x^3-8}}=\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{(x^4-16)'}{(x^3-8)'}}$ | ||
| $\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{4x^3}{3x^2}}$ | ||
| $\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{4x}{3}}$ | ||
| Reemplazando el valor de $x=2$ en la función | ||
| $f(2)=\dfrac{4(2)}{3}$ | ||
| $f(2)=\dfrac{8}{3}$ | ||
| Respuesta: | ||
| $\lim \limits_{x \to 2}{\dfrac{x^4-16}{x^3-8}=\dfrac{8}{3}}$ | ||