Calcular:
$\lim \limits_{x \to 1}{\dfrac{1-x^2}{\sin \pi x}}$
Solución
| Reemplazando el valor de $x=1$ en la función: | ||
| $f(x)=\dfrac{1-x^2}{\sin \pi x}$ | ||
| $f(1)=\dfrac{1-1^2}{\sin \pi (1)}$ | ||
| $f(2)=\dfrac{1-1}{\sin \pi}$ | ||
| $f(2)=\dfrac{0}{0}$ | ||
| Cuando el límite de una función da como resultado la indeterminación $0/0$ se debe factorizar los polinomios del numerador y denominador y luego simplificar el factor común, pero también se puede aplicar la Regla de Hôpital. | ||
| Regla de Hôpital | ||
| $\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}$ | ||
| Aplicando derivadas: | ||
| $\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{1-x^2}{\sin \pi x}}=\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{(1-x^2)'}{(\sin \pi x)'}}$ | ||
| $\lim \limits_{x \to a}{\dfrac{-2x}{\pi \cos \pi x}}$ | ||
| Reemplazando el valor de $x=1$ en la función | ||
| $f(x)=\dfrac{-2x}{\pi \cos \pi x}$ | ||
| $f(1)=\dfrac{-2(1)}{\pi \cos \pi (1)}$ | ||
| $f(1)=\dfrac{-2}{\pi \cos \pi}$ | ||
| $f(1)=\dfrac{-2}{\pi (1)}$ | ||
| $f(1)=-\dfrac{2}{\pi}$ | ||
| Respuesta: | ||
| $\lim \limits_{x \to 1}{\dfrac{1-x^2}{\sin \pi x}=-\dfrac{2}{\pi}}$ | ||