En una tienda automotriz el número de autos es de $2\, más$ que el número de camionetas y si sumamos los cuadrados de ambas cantidades obtendremos como resultado el número $130$. ¿Cuántos autos hay en dicha tienda? | |
| $A)$ | $7$ |
| $B)$ | $9$ |
| $C)$ | $11$ |
| $D)$ | $13$ |
| $E)$ | $8$ |
Solución
| Datos: | ||
| Autos: $a$ | ||
| Camionetas: $c$ | ||
| Resolviendo: | ||
| El número de autos es de 2 más que el número de camionetas | ||
| $a=c+2$ $c=a-2$ $ecu.(1)$ |
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| Suma de cuadrados de ambas cantidades es 130: | ||
| $a^2+c^2=130$ $ecu.(2)$ | ||
| Reemplazamos la $ecu.(1)$ en la $ecu.(2)$ | ||
| $a^2+c^2=130$ $ecu.(2)$ | ||
| $a^2 +(a-2)^2 =130$ | ||
| $a^2 +a^2-2(2)(a)+2^2 =130$ | ||
| $2a^2 -4a+4-130 =0$ | ||
| $2a^2 -4a-126 =0$ | ||
| $a^2 -2a-63 =0$ | ||
| Se ha obtenido una ecuación de 2do grado |
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| Aplicando el método de aspa: | ||
| El 1er término $a^2$ se descompone en $(a)(a)$ | ||
| El 3er término $-63$ se descompone en $(-9)(+7)$ | ||
| Al multiplicar en aspa se obtienen los términos $(-9a)$ y $(+7a)$ cuya suma es $-2a$, que es igual al 2do término (lo que la solución es correcta). La siguiente figura muestra el procedimiento:  |
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| Obteniendo las raíces | ||
| Para obtener las raíces se multiplican los dos términos horizontal con sus respectivos signos y se igualan a cero: | ||
| $(a-9)(a+7)=0$ | ||
| Primera raíz: | ||
| $a_1-9=0$ | ||
| $a_1=9$ | ||
| Segunda raíz: | ||
| $a_2+7=0$ | ||
| $a_2=-7$ | ||
| Conjunto solución: | ||
| Como el número de autos tiene que ser positivo, tomando la 1ra raíz. $a_1=9$ |
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| Respuesta | ||
| La solución es la Alternativa B | ||