Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es $580$.¿Cuál es el mayor de esos números? | |
| $A)$ | $12$ |
| $B)$ | $13$ |
| $C)$ | $24$ |
| $D)$ | $18$ |
| $E)$ | $16$ |
Solución
| Datos: | ||
| Números: | ||
| $a\,(mayor)$ $b\,(menor)$ |
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| Resolviendo: | ||
| Se diferencian es 2 unidades: | ||
| $a-b=2$ $b=a-2$ $ecu.(1)$ |
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| Suma de cuadrados de ambas cantidades es 580: | ||
| $a^2+b^2=580$ $ecu.(2)$ | ||
| Reemplazamos la $ecu.(1)$ en la $ecu.(2)$ | ||
| $a^2+b^2=580$ $ecu.(2)$ | ||
| $a^2 +(a-2)^2 =580$ | ||
| $a^2 +a^2-2(2)(a)+2^2 =580$ | ||
| $2a^2 -4a+4-580=0$ | ||
| $2a^2 -4a-576=0$ | ||
| $a^2 -2a-288 =0$ | ||
| Se ha obtenido una ecuación de 2do grado |
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| Aplicando el método de aspa: | ||
| El 1er término $a^2$ se descompone en $(a)(a)$ | ||
| El 3er término $-288$ se descompone en $(-18)(+16)$ | ||
| Al multiplicar en aspa se obtienen los términos $(-18a)$ y $(+16a)$ cuya suma es $-2a$, que es igual al 2do término (lo que la solución es correcta). La siguiente figura muestra el procedimiento:  |
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| Obteniendo las raíces | ||
| Para obtener las raíces se multiplican los dos términos horizontal con sus respectivos signos y se igualan a cero: | ||
| $(a-18)(a+16)=0$ | ||
| Primera raíz: | ||
| $a_1-18=0$ | ||
| $a_1=18$ | ||
| Segunda raíz: | ||
| $a_2+16=0$ | ||
| $a_2=-16$ | ||
| Conjunto solución: | ||
| De las dos raíces tomamos la positiva. $a_1=18$ |
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| Respuesta | ||
| La solución es la Alternativa D | ||