Una piscina rectangular de $15\,m$ de largo por $9\,m$ de ancho está rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme. Si el área del camino es de $81\,m^2$. ¿Cuánto mide el ancho del camino? | |
| $A)$ | $1,5\,m$ |
| $B)$ | $0,75\,m$ |
| $C)$ | $1,2\,m$ |
| $D)$ | $2,0\,m$ |
| $E)$ | $12\,m$ |
Solución
| Datos: | ||
| Largo de piscina: $l$ | ||
| Ancho de piscina: $a$ | ||
| Ancho de camino: $x$ | ||
| Area de camino: $81\,m^2$ | ||
| Resolviendo: | ||
En la siguiente gráfico se muestra la piscina y el camino |
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| Cálculo de Areas | ||
| $Area\,camino=Area\,Total-Area\,piscina$ | ||
| $81=(15+2x)(9+2x)-15(9)$ | ||
| $81=135+30x+18x+4x^2 -135$ | ||
| $81=48x+4x^2$ | ||
| $4x^2+48x-81=0$ | ||
| Se ha obtenido una ecuación de 2do grado |
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| Aplicando el método de aspa: | ||
| El 1er término $4x^2$ se descompone en $(2x)(2x)$ | ||
| El 3er término $-81$ se descompone en $(+27)(-3)$ | ||
| Al multiplicar en aspa se obtienen los términos $(+54x)$ y $(-6x)$ cuya suma es $+48x$, que es igual al 2do término (lo que la solución es correcta). La siguiente figura muestra el procedimiento:  |
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| Obteniendo las raíces | ||
| Para obtener las raíces se multiplican los dos términos horizontal con sus respectivos signos y se igualan a cero: | ||
| $(2x+27)(2x-3)=0$ | ||
| Primera raíz: | ||
| $2x_1+27=0$ | ||
| $2x_1=-27$ | ||
| $x_1=\dfrac{-27}{2}$ | ||
| $x_1=-13,5\,m$ | ||
| Segunda raíz: | ||
| $2x_2-3=0$ | ||
| $2x_2=3$ | ||
| $x_2=\dfrac{3}{2}$ | ||
| $x_2=1,5\,m$ | ||
| Conjunto solución: | ||
| De las dos raíces tomamos la positiva, ya que el ancho no puede ser una distancia negativa $x_2=1,5\,m$ |
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| Respuesta | ||
| La solución es la Alternativa A | ||